Vier Käfer (Mäuse) sitzen in den Ecken eines Quadrates und laufen mit gleicher Geschwindigkeit gleichzeitig los. Käfer 1 läuft in Richtung Käfer 2, Käfer 2 in Richtung Käfer 3, Käfer 3 in Richtung Käfer 4 und der in Richtung Käfer. Auf welchen Kurven bewegen sich die Käfer (Mäuse)?

Es soll nun die Bahnkurve eines Käfers bestimmt werden. Der Mittelpunkt des Quadrats mit einer Kantenlänge 2 befinde sich im Ursprung eines Koordinatensystems, die Positionen der Käfer zu Beginn seien die Eckpunkte (-1 | -1), (1 | -1), (1 | 1) und (-1 | 1) des Quadrats.

Zu einem beliebigen Zeitpunkt befinde sich Käfer 1 im Punkt K₁(x|y). Käfer 2 befindet sich dann aus Symmetriegründen im Punkt K₂(y | -x). Die Gerade (K₁K₂) ist die Tangente in K₁ an die gesuchte Kurve von Käfer 1. Mit der Tangentensteigung ergibt sich somit die Differentialgleichung (DGL)

Mit Polarkoordinaten gilt x = r ∙ cos(φ) und y = r ∙ sin(φ); mithin ist dann

Einsetzen in die obige DGL ergibt dann eine DGL für r in Abhängigkeit von φ, die es zu lösen gilt:

Alaaf und Helau!!!

Für die obigen Formen habe ich keine Parameterwerte angegeben. Der wirkliche Spaß besteht im eigenen Experimentieren mit oftmals überraschenden Ergebnissen; der interessierte Leser möge sich die Graphing Calculator 3D-Datei unten downloaden. Viele Formen mit Parameterwerten finden sich auch in der Patentschrift von Gielis auf den Seiten 39 - 73 [1].

Mit der Superformel lassen sich auch 3D-Objekte erzeugen (s. 3D Supershape).

In [2] versuchen die Verfasser durch verschiedene Funktionen modifizierte Gielis-Kurven an simulierte Daten anzupassen. Allerdings ist es bei einer gegebenen Figur nicht einfach, die Parameter zur Erzeugung dieser Figur zu bestimmen. Dies wurde mit zwei Methoden der globalen Optimierung (Simulated Annealing und Particle Swarm) versucht. Es ergab sich jedoch, dass diese Parameter nicht zuverlässig geschätzt werden konnten und keine eindeutigen Lösungen zustande kamen.

   3D Schneemann
aus Parameterflächen

"... und kam die goldene Herbsteszeit
und die Birnen leuchteten weit und breit..."

3D Birne als Implizite Fläche

3D Kürbis als Parameterfläche

HAPPY HALLOWEEN

...  Winterabend ...

(Komposition aus impliziten Flächen)

Schneefall

... kleine Themenauswahl ...

Maus auf Objekt: Stop Slider
Klick auf Objekt:  Sprung auf
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3D Kürbis als Parameterfläche

Frohe Ostern!

Funktionsgraph aus Ostereiern

"... und kam die goldene Herbsteszeit
und die Birnen leuchteten weit und breit..."

3D Birne als Implizite Fläche

            Erntezeit ...

3D Apfel als Parameterfläche

  Beispieldatei.gc3

Das ist ein Schlagwort zum Überfahren mit der Maus.

Das Schlagwort ist ein zum Überfahren mit der Maus.

Das Schlagwort ist ein zum Überfahren mit der Maus.

Text

Text

Wenn Sie hier im Text dieses Stichwort mit der Maus überfahren, öffnet sich ein Bild mit einem Erklärtext.

Die Planetenbahnen und die Bahn des Mondes um die Erde sind Ellipsen, wenn auch nahezu kreisförmig. Bei der Bahnberechnung für die Planeten und den Mond wurden außer der mittleren Umlaufzeit folgende Größen berücksichtigt (Werte bei [1]):

große Halbachse       •       Exzentrizität       •       Inklination       •        Achsneigung (bei Erde und Saturn).

Die folgende Animation zeigt den Umlauf von Merkur (grau), Venus (orange) und Erde mit Mond um die Sonne für ein Jahr (hier: 2018).  Schön zu sehen: durch die Neigung der Erdachse von 23.44° zur Ekliptik (Ebene der Umlaufbahn zur Sonne) entstehen die Jahreszeiten.

Die Planetenbahnen und die Bahn des Mondes um die Erde sind Ellipsen, wenn auch nahezu kreisförmig.

Bei der Bahnberechnung für die Planeten und den Mond wurden berücksichtigt (Werte bei [1]):

• große Halbachse
• Exzentrizität
• Inklination
• Achsneigung (bei Erde und Saturn)
• mittlere Umlaufzeit.

Die folgende Animation zeigt den Umlauf von Merkur (grau), Venus (orange) und Erde mit Mond um die Sonne für ein Jahr (hier: 2018).  Schön zu sehen: während die Erde die Sonne umläuft, bleibt die Neigung der Erdachse von 23.44° zur Ekliptik (Ebene der Umlaufbahn um die Sonne) im Raum (abgesehen von langperiodischen Effekten) fast unverändert . Dadurch ist von März bis September die Nordhalbkugel etwas mehr zur Sonne hin geneigt, von September bis März die Südhalbkugel. Im Jahreslauf ändern sich daher der Einfallswinkel der Sonnenstrahlen und die Dauer des lichten Tages, womit die Jahreszeiten entstehen.

Die Planetenbahnen und die Bahn des Mondes um die Erde sind Ellipsen, wenn auch nahezu kreisförmig. Bei der Bahnberechnung für die Planeten und den Mond wurden außer der mittleren Umlaufzeit folgende Größen berücksichtigt (Werte bei [1]):

große Halbachse       •       Exzentrizität       •       Inklination       •        Achsneigung (bei Erde und Saturn).

Die folgende Animation zeigt den Umlauf von Merkur (grau), Venus (orange) und Erde mit Mond um die Sonne für ein Jahr (hier: 2018).  Schön zu sehen: durch die Neigung der Erdachse von 23.44° zur Ekliptik (Ebene der Umlaufbahn zur Sonne) entstehen die Jahreszeiten.