Shader-A für Polynom mit vorgegebenen Koeffizienten

Für ein allgemeines Polynom der Form

d.h. die Koeffizienten a_j werden vorgegeben, habe ich den Shader-A (s. unten im Download-Bereich) für das Programm VOC programmiert , mit dem sich für beliebige Polynome die Basins of Attraction sowie die Konvergenzgeschwindigkeit mit allen auf meiner Seite betrachteten Iterationsmethoden (s. Nullstellen komplexer Funktionen) berechnen lassen.

Insbesondere erlaubt der Shader-A auch komplexe Koeffizienten.

Der maximale Grad n des Polynoms beträgt dabei 10, das Schema lässt sich aber leicht für einen höheren Grad erweitern. Für die bei den Iterationsverfahren benötigte Funktion sowie deren erste bis dritte Ableitung gilt somit:

p  (z) = a₁₀z¹⁰ + a₉z⁹ + a₈z⁸ + a₇z⁷ + a₆z⁶ + a₅z⁵ + a₄z⁴ + a₃z³ + a₂z² + a₁z + a₀

p ' (z) = 10 a₁₀z⁹ + 9 a₉z⁸ + 8 a₈z⁷ + 7 a₇z⁶ + 6 a₆z⁵ + 5 a₅z⁴ + 4 a₄z³ + 3 a₃z² + 2 a₂z + a₁

p'' (z) = 90 a₁₀z⁸ + 72 a₉z⁷ + 56 a₈z⁶ + 42 a₇z⁵ + 30 a₆z⁴ + 20 a₅z³ + 12 a₄z² + 6 a₃z + 2 a₂

p''' (z) = 720 a₁₀z⁷ + 504 a₉z⁶ + 336 a₈z⁵ + 210 a₇z⁴ + 120 a₆z³ + 60 a₅z² + 24 a₄z + 6 a₃

Außer der manuellen Vorgabe der Koeffizienten a₀ bis a₁₀ bietet der Shader (als Gimmick) auch die Möglichkeit der zufälligen Vorgabe der Koeffizienten. Gesteuert wird dies mit der Variablen random_method:

• random_method = 0 :  manuelle Vorgabe der Koeffizienten und Nullstellen

Hier ein Beispiel für das Polynom z⁶ + 10 z³ - 8 mit seinen sechs Nullstellen

Bei Vorgabe der Koeffizienten und der Nullstellen A, B, ... des Polynoms können mit
color_scheme = 0  die Basins of Attraction dargestellt werden:

Werden die Nullstellen nicht eingegeben, so können die Basins of Attraction (color_scheme = 0) nicht dargestellt werden, zumindest aber kann mittels color_scheme = 1 oder 2 die Konvergenzgeschwindigkeit berechnet werden.

Tipp:  Eine Möglichkeit, sich die Nullstellen einer Funktion berechnen zu lassen, bietet Wolfram|Alpha. In die Eingabezeile tragen SIe dann "roots of Ihre Funktion" ein.

• random_method = 1 :  die Koeffizienten werden mit einem Pseudo Random Number Generator
                                      (kurz: PRNG, s. auch hier)  erzeugt.

Die generierten Zufallszahlen rand_j liegen im Bereich [-1, 1] und werden mit den Faktoren R_i und C_i auf den jeweils gewünschten Bereich der Koeffizienten a_i expandiert: a_i = (rand_j • R_i ,  rand_j+1 • C_i ).

Die obige Einstellung erzeugt ein zufälliges Polynom 4. Grades mit vier reellen und einem komplexen Koeffizienten (s. Beispiele unten).

Dazu kann für den Startwert Seed  des PRNGs eine ganze Zahl im Bereich 0 ... 10 000 000 eingegeben werden, aus der der PRNG dann die pseudo-zufälligen Koeffizienten a₀ bis a₈ berechnet. Hierzu kann in der Eingabemaske von VOC der Parameter Bailout genutzt werden:

Die eingegebene Zahl (z.B. 47182) erzeugt somit ein Unikat eines Polynoms - es ist der Zahl fest zugeordnet.

Dieses kann dann für die Untersuchung mit verschiedenen Iterationsverfahren und/oder Einfärbungen genutzt werden, ohne dass beim Klicken auf den OK-Button (Start des Shaders) neue Koeffizienten berechnet werden, wie dies mit random_method = 2 der Fall ist.

Hier dazu einige Beispiele mit den obigen Vorgaben für R_i und C_i :

• random_method = 2 :  zufällige Erzeugung der Koeffizienten bei jedem (!) Shader-Start
                                      mittels Klick auf den OK-Button; 
                                      als Startwert für den PRNG wird hier eine von VOC gelieferte Zufallszahl
                                      verwendet

Hinweis: Logischerweise muss bei den beiden Zufallsvarianten für die Variable color_scheme der Wert 1

 oder 2 gewählt werden, da die Nullstellen des Zufallspolynoms ja nicht bekannt sind.

Download

Für Ihre eigenen Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen steht hierzu die nachfolgende Datei Rootfind Polynomial Shader-A.zip als Download zur Verfügung.

Sie enthält den oben beschriebenen Shader-A (CFF-Datei) für das Programm Vision of Chaos, und ermöglicht für ca. 50 Iterationsverfahren die Berechnung der Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit für eine komplexe Funktion f : D → ℂ  mit  D ⊆ ℂ.

Die Datei BFrain.zip, enthält die Palette (MAP-Datei), die auf meinen Webseiten bei der Berechnung und Einfärbung der Konvergenzgeschwindigkeit zugrunde lag (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen).