Komplexe Fibonacci-Folgen

Vor der Betrachtung komplexer Fibonacci-Folgen wird zunächst auf die natürlichen / ganzzahligen  Fibonacci-Folgen und deren Erweiterung zu kontinuierlichen Fibonacci-Folgen eingegangen.

Die Fibonacci Folge ist eine Folge natürlicher Zahlen mit folgender rekursiver Bildungsvorschrift:

Die ersten 17 Glieder der Folge ergeben sich somit zu:

Oftmals wird die Fibonacci-Folge (z.B. in der Schule) an Hand einer Kaninchenpopulation dargestellt:

Es startet ein männliches und ein weibliches Kaninchenneugeborenes (ein Paar).

Angenommen

• ein Neugeborenes braucht einen Monat um auszuwachsen,
• ein Paar bekommt pro Monat ein Paar Neugeborenes
• und kein Kaninchen stirbt.

Im 1. Monat gibt es also ein Paar Neugebore, im 2. Monat sind sie Erwachsene, es gibt also keine Neugeborenen. Dann bekommen sie ein Paar Neugeborene im 3. Monat und so weiter (vgl. mit nachfolgender Grafik). In dem hier vereinfachten Beispiel beschreibt die Fibonacci-Folge die Gesamtpopulation der Kaninchenpaare.

Stellt man die rekursive Bildungsvorschrift der Fibonacci-Folge um  f_n-2 = f_n – f_n-1  , so lassen sich die 

Fibonacci-Zahlen in den Bereich der negativen ganzen Zahlen 𝕫^– erweitern, so dass sie für alle n ∈ 𝕫 definiert sind. Man erhält: 

Die Beträge der Werte sind symmetrisch, im Negativen alternieren sie jedoch; somit gilt  f_–n = (–1)ⁿ⁺¹ f_n .

Eigenschaften, Anwendungen und Verbindungen/Bezüge zu anderen Bereichen der Mathematik finden interessierte Leser in [1] sowie in "The Online Encyclopedia of Integer Sequences" [2].

Eine wichtige Eigenschaft der Fibonacci-Folge ist, dass die Folge der Verhältnisse zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen  f_n und f_n+1

in ℝ mit folgendem Grenzwert konvergiert:

Die irrationale Zahl Φ ≈ 1.61803... wird auch Goldener Schnitt [3] genannt. Im Negativen nähert sich das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen gegen Φ^-1.

Zerlegt man den Bruch in der Moivre-Binet-Formel in zwei Teilbrüche, so entsteht die Differenz zweier Folgen. Bemerkenswert ist hier, dass für  n ∈ ℤ  die Differenz der Glieder beider Folgen mit jeweils der n-ten Potenz einer irrationalen Zahl Φ ganzzahlige Fibonacci-Zahlen erzeugen (vgl. mit der folgenden Grafik).    

Für positive n geht der Einfluss der Folge (1 - Φ)ⁿ / √5  rasch gegen Null. Dies kann man verwenden, um die Berechnung abzukürzen, indem man den Term für genügend große n ignoriert und das Ergebnis zur nächsten natürlichen Zahl rundet:

Dies gilt bereits für 0 ≤ n ∈ ℤ . In der folgenden Tabelle sind für die ersten Folgeglieder die nicht gerundeten Werte f_n* aufgeführt.

Setzt man in den Exponenten n der Moivre-Binet-Formel nicht-ganzzahlige Werte ein, so wandelt sich die Fibonacci-Folge in eine kontinuierliche Funktion um. Da  1−Φ  jedoch negativ ist und nicht-ganzzahlige Potenzen negativer Zahlen nur im Komplexen definiert sind, muss der Wertebereich auf ℂ erweitert werden:

Der Graph dieser Funktion stellt sich mit x als Kurvenparameter wie folgt dar:

Für reelle x kann man f  umformen:

und erhält so folgende Darstellung:

Die zuvor beschriebene Erweiterung der Fibonacci-Folge zu einer komplexwertigen Funktion mit reellen Eingabewerten kann nochmals erweitert werden, indem man als Definitionsbereich von f  die komplexen Zahlen ℂ zulässt:

Um diese Funktion darstellen zu können, werden die komplexen Funktionswerte f (z) auf reelle Werte heruntergebrochen, d.h. die komplexwertige Funktion f : ℂ → ℂ  wird durch die Funktion f̃ : ℝ² → ℝ  ersetzt (s. auch 3D Visualisierung komplexwertiger Funktionen).

Die darzustellenden Größen für f (z) mit  z = x + y ∙ i  ergeben sich zu:

Mit

liegen die Nullstellen z_n auf einer Geraden durch den Nullpunkt; dies kann man gut in den Contour-Plots erkennen:

Der Absolutbetrag der komplexen Fibonacci-Folge

ist in der folgenden Galerie links dargestellt. Das rechte Bild der Galerie zeigt den Absolutbetrag zusammen mit der Phase (s. auch 3D Visualisierung komplexwertiger Funktionen).

Eine Darstellung von f  als Phasen-Plot (s. auch 2D Visualisierung komplexwertiger Funktionen) zeigt die folgende Abbildung.

Außer der Wahl beliebiger Startwerte besteht eine weitere Art der Erweiterung der Fibonacci-Folge darin, die Glieder z_n+1 und z_n mit Faktoren zu versehen: 

z_n+2 = a z_n+1 + b z_n   mit   a, b ∈ ℂ

In Abhängigkeit der Koeffizienten a und b kann eine solche Folge divergieren, konvergieren oder zyklisches Verhalten zeigen. Dazu im Folgenden ein paar Beispiele.

In seiner Publikation "Allgemeine Fibonacci-Folgen" [7] untersucht der Verfasser H. Walser dieses Grenzverhalten systematisch und stellt entsprechende Bedingungen auf. Darüber hinaus finden Interessierte Leser(innen) auf seiner Webseite unter "Miniaturen" eine unglaublich große Vielfalt an Themen rund um die Fibonacci-Folge.

Im weiteren Verlauf dieser Webseite liegt der Focus auf speziellen Folgen, die ein zyklisches Verhalten aufweisen.

Durch eine entsprechende Wahl von a und b für die Folge z_n+2 = a z_n+1 + b z_n entstehen zyklische Fibonacci-Folgen. Verbindet man je zwei aufeinander folgende Glieder z_n und z_n+1 einer zyklischen Fibonacci-Folge mit der Zykluslänge λ = m durch eine Strecke, so ergibt dies ein Polygon [4] mit m Ecken und Seiten (m-Eck).

• Folge  z_n+2 = z_n+1 - z_n  mit n ∈ ℕ₀,  z_n ∈ ℂ

 Alle sechs Punkte liegen auf einer Ellipse mit der parametrischen Darstellung

•  Folge  z_n+2 = 2 cos (φ) z_n+1 - z_n  mit n ∈ ℕ₀, m ∈ ℕ, z_n ∈ ℂ, φ = 2π / m

Die Zykluslänge λ dieser Folge beträgt stets λ (m) = m. Für m = 6 ergibt sich, da cos ( π / 3) = 0.5, die zuvor betrachtete Folge. Hier drei weitere Beispiele mit ebenfalls z₀ = 2 + 5 i, z₁ = -3 + 2 i :

Während die Rekursion  z_n+2 = 2 cos (φ) z_n+1 - z_n  mit beliebigen Startwerten in der Gauß'schen Zahlenebene die Eckpunkte affin-regulärer m-Ecke erzeugt, liefert sie mit den Startwerten z₀ = 1 und 
z₁ = e ^{i φ}  die m-ten Einheitswurzeln. Die Folge ist zyklisch mit der Zykluslänge m und liefert in der Gauß'schen Zahlenebene ein reguläres Polygon, d.h. alle Seiten und Innenwinkel gleich groß, mit m Ecken (m-Eck) und dem Zentrum M  im Ursprung:

•  Folge  z_n+2 = 2 sin (φ) z_n+1 - z_n  mit n ∈ ℕ₀, m ∈ ℕ, m ≠ 2, z_n ∈ ℂ, φ = π / m

Bei dieser Folge wurde die Cosinus-Funktion durch die Sinus-Funktion ersetzt; zusätzlich wurde dessen Argument halbiert: φ = π / m. Die Zykluslänge der Folge ist nun etwas komplizierter:  

Für λ (m) folgt somit: 

Die Folge liefert mit beliebigen Startwerten in der Gauß'schen Zahlenebene die Eckpunkte affin-regulärer m-Ecke mit Mittelpunkt im Ursprung:

•  Folge  z_n+2 = (1 + e ^{i φ}) z_n+1 - e ^{i φ} z_n  mit m ∈ ℕ, m > 2, z_n ∈ ℂ, φ = 2π / m

Formt man diese Rekursionsvorschrift der verallgemeinerten komplexen Folge um:

z_n+2 = z_n+1 + e^{i φ} z_n+1 – e^{i φ} z_n

z_n+2 – z_n+1 = (z_n+1 – z_n) e^{i φ}

so zeigt sich, dass die Strecke von z_n+2  zu  z_n+1 (also die Seite des m-Ecks) die um den Winkel φ = 2π /m  gedrehte vorherige Strecke von  z_n+1 zu z_n   ist. Für m ergibt sich ein gleichseitiger Streckenzug mit jeweiliger Richtungsänderung φ, der sich zu einem regulären m-Eck schließt:

Der Mittelpunkt M  des m-Ecks liegt bei

.

•  Folge  z_n+2 = (1 + e ^{i k φ}) z_n+1 - e ^{i k φ} z_n 

    mit m, k ∈ ℕ, m > 2, 1 ≤ k < m, z_n ∈ ℂ, φ = 2π / m

Für beliebige Startwerte z₀ und z₁ lassen sich mit dieser verallgemeinerten Fibonacci-Rekursion m - 1 reguläre planare Polygone erzeugen. Dabei lassen sich zwei Typen unterscheiden:

• einfache reguläre Polygone, deren Kanten sich nur in den Eckpunkten (Folgengliedern) berühren

• überschlagene reguläre Polygone, d.h. jeder Eckpunkt wird mit einem nicht benachbarten Eckpunkt verbunden, so dass es zu jeder Kante zusätzliche Schnittpunkte durch Überschneidungen gibt; wegen ihres Aussehens nennt man diese Polygone auch Sternpolygone [5].

Sind m und k teilerfremd, so liegt bei dieser Folge stets ein Sternpolygon vor.

Für ein festes m lassen sich für k = 1, ..., m-1 folgende Polygone erzeugen:

• m gerade:  m / 2  Paare gleicher Polygone

• m ungerade:  m / 2 - 1  Paare gleicher Polygone und ein Zweieck.

Die folgende linke Animation zeigt für  m = 9  und  k = 1, ..., 8  die entstehenden Polygone. In der rechten Animation mit m = 24  bricht diese bei  m / 2 = 12  ab und erzeugt so nur jeweils eine Hälfte der möglichen Paare (vgl. mit Tabelle weiter unten).

Die folgende Animation zeigt für m = 24 und k = 1, ..., 23 die entstehenden Polygone. Hierbei werden die Polygon-Paare mit Schläfli-Index {m / k} und {m / m-k} gleichzeitig dargestellt, wobei die Gerade durch z₀  und  z₁  die Symmetrieachse ist.   

Die folgenden beiden Tabellen zeigen noch einmal paarweise die generierten Polygone der Animationen. Die Anzahl der Ecken p sowie die Größe q lässt sich aus den Folgeparametern m und k herleiten:

Bezüglich der Art (einfaches oder Sternpolygon) der für ein gegebenes m und k = 1, ..., m-1 mit dieser Folge generierten Polynome gelten die folgenden Aussagen:

• Polygone mit Schläfli-Index {m / 1} und {m / m-1} sind einfache Polygone.
• Das Polygon ist ein Sternpolygon  ⇒  m ≥ 5
• ggT (m, k) = 1 (d.h. m und k sind teilerfremd) ⇒  es liegt ein Sternpolygon vor
• q = 1  v  p – q = 1  ⇔  es liegt ein einfaches Polygon vor     

Die Frage, wie viele Sternpolynome die Folge für ein gegebenes m und k = 1, ..., m-1 generiert, ist hingegen nicht ohne weiteres zu beantworten. Grundsätzlich gilt:

Ist m eine Primzahl, dann lassen sich für dieses m mit der Folge m-3 Sternpolygone generieren.

Dies ist unmittelbar einsehbar, da von den möglichen m-1 Polygonen die Polygone mit {m / 1} und {m / m-1} einfache Polygone sind.

In der folgenden Tabelle sind von m abhängige Größen aufgeführt (orangene Schrift: m ist Primzahl):

• s:     Anzahl der Sternpolygone
• a:     Anzahl der Primzahlen, die kleiner/gleich m sind
• t:      Anzahl der Teiler von m
• f:      Anzahl der Primfaktoren für m
• PZ:   Primfaktorzerlegung für m
• T:     Menge der Teiler von m

Für die Anzahl s der für ein m mit k = 1, ..., m-1 generierbaren Sternpolygone stellt r-3 eine obere Schranke dar, wobei r  die zu m nächsthöhere Primzahl ist.

Bisher ist es mir noch nicht gelungen, einen funktionalen Zusammenhang s (m) herzustellen bzw. Argumente dafür zu finden, dass es ein solcher funktionaler Zusammenhang überhaupt existiert. Falls sich interessierte Leser(innen) daran versuchen möchten, schicke ich auch gerne zur Unterstützung entsprechende EXCEL-Tabellen mit VBA-Programmen zu...

•  Folge  z_n+2 = i z_n+1 + z_n  mit n ∈ ℕ₀,  z_n ∈ ℂ  

In der Gauß'schen Zahlenebene liegen die Punkte der Glieder abwechslungsweise auf zwei kongruenten aber um π/2 verdrehten Ellipsen. Mit φ = 2 π / 12  und zwei aufeinander folgenden Gliedern mit geraden Indices k  (bzw. ungeraden Indices k  für die andere Ellipse) z_k = a + b i  und  z_k+2 = c + d i  lautet mit  t = 0 … 2 π  die Ellipsengleichung:

Bei den folgenden Animationen ist z₁ konstant (2 + i) während sich z₀ auf einem Kreis mit Radius 3 um den Ursprung des Koordinatensystems bewegt.

DIe folgende Galerie enthält weitere Beispiele zyklischer Folgen mit speziellen Symmetrien.

•  Folge  z_n+2 = 2 i z_n+1 + z_n  mit n ∈ ℕ₀,  z_n ∈ ℂ  

Verdoppelt man bei der vorigen Folge den imaginären Faktor vor z_n+1, so ist die Folge mit z₀ = (0, 0) und
z₁ = (1, 0) nicht mehr zyklisch, liefert folglich kein Polygon, sondern eine eckige Spirale:

Auch wenn man bei "schnellem Hinsehen" meint, dass es sich um eine rechteckige, Archimedische Spirale handelt (d.h. je zwei benachbarte "Windungen" sind parallel), so ist dies nicht der Fall: keine der benachbarten Seiten sind parallel. Vielmehr liegen hier die Folgenglieder auf einer Archimedischen Spirale (gelb in Grafik) der Form

Bei entsprechender Wahl der Startwerte erkennt man bei Betrachtug der entstehenden Spirale deutlich besser, dass es sich nicht um eine rechteckige Archimedische Spirale handelt, wie z.B. in der folgenden Grafik mit z₀ = (1, 4) und z₁ = (-2, -1)):

Dennoch liefert die Rekursion, abhängig von den Startwerten z₀ und z₁, auch rechteckige, Archimedische Spiralen für die folgende Fälle:

Für bestimmte Startwertkombinationen liefert die Rekursion keine Spiralen, sondern eine zyklische Folge mit λ = 4, deren Folgenglieder ein Quadrat bilden:

Abschließend und als besonderer Wunsch einer einzelnen Dame und Hundebesitzerin...

Quellenverweise

[1]   https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge

[2]   https://oeis.org/A000045

[3]   https://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt

[4]   https://de.wikipedia.org/wiki/Polygon

[5]   https://de.wikipedia.org/wiki/Stern_(Geometrie)

[6]   https://de.wikipedia.org/wiki/Schl%C3%A4fli-Symbol

[7]   https://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Fibonacci/index.html