Basins of Attraction für z^4 - 1 = 0

z⁴ – 1 = (z² - 1) (z² + 1) = (z - 1) (z + 1) (z - i) (z + i) = 0

Für die folgenden Galerien wurde, so nicht anders angegeben, als Ausgangsbereich B = [-2, 2] × [-2, 2] ⊆ ℂ verwendet und dann in kleine Teilbereiche von B hinein gezoomt. Weitere Informationen zum jeweiligen Bild erhalten Sie durch Anklicken des Bildes (s. auch folgender Navigationstipp). Um Ladezeiten kurz zu halten, habe ich die Größe der Fraktale auf 1024 x 1024 Pixel beschränkt.

Eine größere, detailreichere Ansicht lohnt sich. Klicken Sie dazu auf ein Bild in der Galerie (evtl. für eine weitere Vergrößerung auf die dann erscheinende Bildschirmlupe ). Innerhalb der Galerie bewegen Sie sich mit den Pfeiltasten ← → am linken / rechten Bildschirmrand.

Newton-Verfahren

Halley-Verfahren

Schröder-Verfahren

Basto-Verfahren

Basins of Attraction z^4-1=0, Basto-Verfahren, Zoom b

Whittaker I -Verfahren

Whittaker II -Verfahren

Bahgat-Verfahren

Hosseini-Verfahren

Behl-Kanwar-Sharma -Verfahren

Basins of Attraction z^4-1=0 Behl-Kanwar-Sharma-Verfahren, p=0.2, B=[-0.3, 0.3]x[-0.3, 0.3]

Basins of Attraction z^4-1=0 Behl-Kanwar-Sharma-Verfahren, p=1.5, B=[-3, 3]x[-3, 3]

Sekanten-Verfahren

Basins of Attraction z^4-1=0, Sekanten-Verfahren, z<sub>1</sub>=(0.5, 2)

Basins of Attraction z^4-1=0 Sekanten-Verfahren, z1=(-1.5, 1.5), B=[-18, 14]x[-14, 18]

Kanwar-Sharma-Verfahren

Basins of Attraction z^4-1=0 Kanwar-Sharma-Verfahren, z1=(-2, 2), alpha=5, B=[-50, 190]x[-170, 70]

Basins of Attraction z^4-1=0 Kanwar-Sharma-Verfahren, alpha=5, z1=(-7, 7), B=[-28, 44]x[-35, 37]

Ridders-Verfahren

Saeed-Aziz-Verfahren

Basins of Attraction z^4-1=0 Saeed-Aziz II-Verfahren, B=[-2, 2]x[-2, 2]

Basins of Attraction z^4-1=0 Saeed-Aziz IV-Verfahren, neg. Wurzel, B=[-2, 2]x[-2, 2]

Basins of Attraction z^4-1=0 Saeed-Aziz IV-Verfahren, pos. Wurzel, B=[-2, 2]x[-2, 2]

Thukral-Verfahren

Tiruneh-Verfahren

Ostrowski-Verfahren

Kou-Li-Wang-Verfahren

Chun I -Verfahren

King-Verfahren mit verschiedenen Werten für β, B = [-1, 1] × [-1, 1]

Basins of Attraction z^4-1=0, King-Verfahren, beta=-2.8

Basins of Attraction z^4-1=0, King-Verfahren, beta=-2.8, Zoom

Basins of Attraction z^4-1=0, King-Verfahren, beta=-2.35, B=[-3, 3]x[-3, 3]

Basins of Attraction z^4-1=0, King-Verfahren, beta=-2.1, B=[-10, 10]x[-10, 10]

Basins of Attraction z^4-1=0, King-Verfahren, beta=-2.1, Zoom

Basins of Attraction z^4-1=0, King-Verfahren, beta=-1.8 B=[-10, 10]x[-10, 10]

Basins of Attraction z^4-1=0, King-Verfahren, beta=-1.5

Basins of Attraction z^4-1=0, King-Verfahren, beta=0.1, B=[-2.5, 2.5]x[-2.5, 2.5]

Chun III -Verfahren

Feng-Verfahren

Contra Harmonic Newton-Verfahren

Kung-Traub-Verfahren

Fang-Ni-Cheng-Verfahren

Rafiq-Rafiullah-Verfahren

Chun-Kim II -Verfahren

Sharma-Bahl-Verfahren

Chun-Lee-Neta-Verfahren

Steffensen-Verfahren

Jarratt-Verfahren

Fang-Sun-He-Verfahren

Ghanbari-Verfahren

Basins of Attraction z^4-1=0 Ghanbari I-Verfahren, B=[-1.5, 1.5]x[-1.5, 1.5]

Basins of Attraction z^4-1=0 Ghanbari II-Verfahren, B=[-1.5, 1.5]x[-1.5, 1.5]

Golbabai-Javidi-Verfahren

Ardeleans-Verfahren

modifizierte Verfahren

Basins of Attraction z^4-1=0 Newton-Verfahren modifiziert, a=1.98 B=[-10, 10]x[-10, 10]

Basins of Attraction z^4-1=0 Halley-Verfahren modifiziert, Animation mit 0.1<a<1.99

Basins of Attraction z^4-1=0, Basto-Verfahren modifiziert, a=1.98, Zoom

Basins of Attraction z^4-1=0 Schröder-Verfahren modifiziert, a=0.8, B=[-10, 10]x[-10, 10]

Basins of Attraction z^4-1=0 Schröder-Verfahren modifiziert, a=1.01, B=[-10, 10]x[-10, 10]

Basins of Attraction z^4-1=0, Schröder-Verfahren modifiziert, a=1.98

Basins of Attraction z^4-1=0 Euler-Chebyshev, m=1.87, B=[-10, 10]x[-10, 10]

Konvergenzgeschwindigkeit für z^4 - 1 = 0

Für einen Bereich B = [-5, 5] × [-5, 5] ⊆ ℂ (so nicht anders angegeben) zeigen die Bilder in folgender Galerie die Konvergenzgeschwindigkeit verschiedener Verfahren an Hand einer Regenbogen-Farbpalette mit 256 Farbwerten. Um die gesamte Farbpalette auf den Bereich der für die Konvergenz erforderlichen Iterationsschritte abzubilden und so die Verfahren vergleichen zu können, wurde p_step für alle Verfahren auf den Wert 10 gesetzt (s. unter Algorithmen). Eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit entspricht so Rot- bis Gelbtönen, eine niedrige entspricht Blautönen.

Klicken Sie auf ein Bild in der Galerie, um dieses zu vergrößern und den Verfahrensnamen sowie verfahrensspezifische Parameter anzuzeigen. Innerhalb der Galerie bewegen Sie sich mit den Pfeiltasten ← → am linken / rechten Bildschirmrand.

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Newton-Verfahren

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Halley-Verfahren

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Schröder-Verfahren

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Householder-Verfahren

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Basto-Verfahren

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Basto-Verfahren, Zoom

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Whittaker I -Verfahren

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Whittaker II -Verfahren

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Sekanten-Verfahren

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Sekanten-Verfahren, z1=(-10, 10), B=[-100, 100]x[-100, 100]

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Sekanten-Verfahren, z1=(-10, 10), B=[-25, 25]x[-25, 25]

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Sekanten-Verfahren, z1=(-10, 0), B=[-20, 205]x[-20, 20]

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Ostrowski-Verfahren

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, King-Verfahren, beta=-1

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, King-Verfahren, beta=-2

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Kung-Traub-Verfahren

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Rafiq-Rafiullah-Verfahren, Zoom

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Newton-Verfahren modifiziert, a=1.9

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Halley-Verfahren modifiziert, a=1.9

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Halley-Verfahren modifiziert, a=1.9, Zoom

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0, Schröder-Verfahren modifiziert, a=1.9

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0 Ridders-Verfahren, pos. square root, B=[-5, 5]x[-5, 5]

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0 Kanwar-Sharma-Verfahren, alpha=5, z1=(-7, 7), B=[-50, 50]x[-50, 50]

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0 Saaed-Aziz II-Verfahren, B=[-1.5, 1. 5]x[-1.5, 1.5]

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0 Ghanbari II-Verfahren, B=[-0.4, 0.4]x[-0.4, 0.4]

Konvergenzgeschwindigkeit z^4-1=0 Tiruneh-Verfahren, B=[-5, 5]x[-5, 5]

Weitere Berechnungen / Experimente

Falls Sie die obigen Resultate nachvollziehen oder weitere Berechnungen / Experimente mit unterschiedlichsten Parametereinstellungen vornehmen möchten, gehen Sie folgendermaßen vor:

Laden Sie das Program VOC (s. Vision of Chaos) herunter und installieren Sie es.
Laden Sie die folgenden beiden ZIP-Dateien mit dem Shader-A und der Palettendatei BFrain herunter und entpacken Sie diese.
Starten Sie das Programm VOC und laden Sie den Shader-A (s. dazu Hinweis bei Vision of Chaos).
Kopieren Sie die beiden Abschnitte "COEFFICIENTS of p(z)" und "ROOTS of p(z)" (s.u.) und ersetzen Sie diese im Shader.

Nun stehen Ihnen für die Funktion auf dieser Seite ca. 50 Iterationsverfahren für die Berechnung der
Basins of Attraction sowie der Konvergenzgeschwindigkeit (s. dazu Basins of Attraction - Algorithmen) zur Verfügung. Um diese Berechnungen auch für andere Funktionen durchzuführen, müssen Sie für die jeweilige Funktion nur ihre beiden Abschnitte "COEFFICIENTS of p(z)" und "ROOTS of p(z)" im Shader ersetzen.

Rootfind Polynomial Shader-A.zip BFrain.zip

// COEFFICIENTS of p(z)
dvec2 a10= dvec2 (   0. , 0. );
dvec2 a9 = dvec2 (   0. , 0. );
dvec2 a8 = dvec2 (   0. , 0. );
dvec2 a7 = dvec2 (   0. , 0. );
dvec2 a6 = dvec2 (   0. , 0. );
dvec2 a5 = dvec2 (   0. , 0. );
dvec2 a4 = dvec2 (   1. , 0. );
dvec2 a3 = dvec2 (   0. , 0. );
dvec2 a2 = dvec2 (   0. , 0. );
dvec2 a1 = dvec2 (   0. , 0. );
dvec2 a0 = dvec2 ( -1. , 0. );
// ROOTS of p(z)
// must be set, if random_method=0 and color_scheme=0 or 3
dvec2 A = dvec2 ( 1.0 , 0.0 );
dvec2 B = dvec2 ( 0.0 , 1.0 );
dvec2 C = dvec2 ( -1.0 , 0.0 );
dvec2 D = dvec2 ( 0.0 , -1.0 );
dvec2 E = dvec2 ( 0.0 , 0.0 );
dvec2 F = dvec2 ( 0.0 , 0.0 );
dvec2 G = dvec2 ( 0.0 , 0.0 );
dvec2 H = dvec2 ( 0.0 , 0.0 );
dvec2 I = dvec2 ( 0.0 , 0.0 );
dvec2 J = dvec2 ( 0.0 , 0.0 );