Implizite Flächen

Eine implizite Fläche im euklidischen Raum wird durch eine Gleichung der Form f (x, y, z) = 0 beschrieben. Somit besteht eine implizite Fläche A aus der Gesamtheit der Nullstellen einer Funktion von drei Variablen:

A = { (x | y | z) | f (x, y, z) = 0 }.

Implizit bedeutet hierbei, dass die Gleichung der Fläche nicht nach x oder y oder z aufgelöst ist.

Beispiele impliziter Flächen (s. Grafiken unten):

Ebene: a x + b y + c z + d = 0
Kugel: x² + y² + z² + r² = 0 r: Radius
Torus: (x² + y² + z² + R² - r² )² - 4 R² (x² + y² ) = 0 R: großer Radius, r: kleiner Radius
Doppeltorus: ((x² + y²)² - x² + y²)² + z² - 0.01 = 0 Fläche vom Geschlecht 2
Rotationsfläche: x² + y² + sin ² (z) - 1 = 0

Ist f (x, y, z) ein Polynom in x, y und z, so nennt man die zugehörige implizite Fläche algebraisch (spezielle algebraische Flächen werden unter Algebraische Flächen mit Singularitäten betrachtet).

Da das Berechnen der Flächenpunkte (d.h. der Nullstellen von f) wesentlich aufwendiger ist als bei Funktionen in expliziter Darstellung oder bei Parameterflächen, erhöht sich die Rechenzeit, insbesondere für höhere Auflösungen, recht deutlich.

Durch eine implizite Gleichung können im Gegensatz zu Parameterflächen gleichzeitig mehrere implizite Flächen
f₁, f₂, …, f_n definiert werden, indem die Funktionsterme
multipliziert werden:

Implizite Funktion mit zwei Objekten

(s. auch weiter unten unter Vereinigung).

Ist beispielsweise

f₁ = x² + y² + z² -1 (Kugel mit Radius 1)

f₂ = ((x-2.5)⁶+y⁶+z⁶ -1 ("Würfel" mit Kantenlänge 2)

und

(x² + y² + z² -1) • (((x-2.5)⁶+y⁶+z⁶ -1) = 0

dann liegt ein Punkt p, der diese Gleichung erfüllt, entweder auf der Kugel oder dem "Würfel".

Operationen auf impliziten Flächen

Im folgenden werden einige Operationen auf impliziten Flächen gezeigt, die insbesondere bei der Modellierung von Objekten mit impliziten Flächen zum Tragen kommen.

Vereinigung und Durchschnitt impliziter Flächen

Die Vereinigung ∪ und der Durchschnitt ∩ sind mengentheoretische Operationen, die es ermöglichen, mehrere implizite Flächen zusammenzufassen. Sind n implizite Flächen definiert durch die Funktionen
f₁, f₂, …, f_n, dann gilt

So ergibt beispielsweise für zwei Kugeln f₁ (x,y,z) = x² + y² + z² - 4 (gelb in folgender Abbildung) und
f₂ (x,y,z) = (x-1)² + y² + z² - 3 (blau)

min (x² + y² + z² - 4, (x-1)² + y² + z² - 3) = 0 die Vereinigung (grüne Fläche)
max (x² + y² + z² - 4, (x-1)² + y² + z² - 3) = 0 den Durchschnitt (orangene Fläche).

zwei separate implizite Flächen (Kugeln)

2 separate implizite Flächen (Kugeln)

Vereinigung zweier Kugeln

Durchschnitt impliziter Flächen (Kugeln)

Durchschnitt zweier Kugeln

Die Vereinigung impliziter Flächen wird auch durch Multiplizieren der Funktionsterme erreicht. Für das obige Beispiel ergibt sich die grüne Fläche ebenso mit ((x² + y² + z² - 4) • ((x-1)² + y² + z² - 3)) = 0.

Verschmelzen impliziter Flächen

Mit der Operation Vereinigung erreicht man nicht, dass z.B. zwei Flächen f₁ und f₂ glatt ineinander übergehen (s. oben). Eine Möglichkeit, um einen glatten Überang zu realisiren, besteht darin, vom Produkt der Funktionsterme eine kleine Zahl a mit 0 < a < 1 zu subtrahieren.

Für die beiden Kugeln oben ergibt sich beispielsweise mit a = 0.01 die gelbe Fläche in der folgenden Abbildung.

Als weiteres Beispiel zeigen die beiden nächsten Grafiken die Verschmelzung zweier Zylinder
x² + y²- 0.5 = 0 (weiß) und y² + z² - 0.5 = 0 (blau). Mit (x² + y²- 0.5) • (y² + z² - 0.5) - 0.1 = 0 ergibt sich dann die Verschmelzung (orange). Je kleiner der Wert von a ist, desto geringer ist die Verschmelzung.

Verschmelzen impliziter Flächen (Kugeln)

Verschmelzen impliziter Flächen
(2 Kugeln)

zwei sich schneidende Zylinder

Verschmelzung der Zylinder

Hier noch ein Beispiel mit mehreren Teilflächen. Die folgende linke Grafik zeigt vier Kugeln mit dem Radius 1 gemäß (x²+y²+z²-1) • ((x-2)²+y²+z²-1) • ((x-1)²+(y-√3)²+z²-1) • ((x-1)²+(y-√3/3)²+(z-2/3•√6)²-1) = 0.

Mit z.B. a = 1 ergibt sich die Verschmelzung in der rechten Grafik gemäß

(x²+y²+z²-1) • ((x-2)²+y²+z²-1) • ((x-1)²+(y-√3)²+z²-1) • ((x-1)²+(y-√3/3)²+(z-2/3•√6)²-1) - 1 = 0.

In der Animation bewegen sich drei Kugeln mit Radius 1 aufeinander zu und verschmelzen. Dies passiert z.B. wenn man ein Quecksilberkügelchen an ein anderes heranschiebt: berühren sich beide, verschmelzen sie innerhalb von Sekundenbruchteilen, um für das vorhandene Volumen die Form mit der kleinsten Oberfläche zu bilden: eine Kugel.

Verschmelzen von 3 Kugeln in impliziter Form

Allerdings haben Quecksilberkugeln trotz der hohen Oberflächenspannung auf Grund ihres Gewichtes eine eher linsenartige Form (s. Foto, Quelle: www.paracelsus-magazin.ch). In der folgenden Animation habe ich die zuvor beschriebene Situation einmal simuliert.

Verschmelzen zweier Tropfen aus Quecksilber

Interpolation impliziter Flächen

Zwei implizite Flächen f₁ und f₂, können interpoliert werden, indem man die mit einem Faktor gewichteten Funktionsterme addiert. Wählt man z.B. einen Parameter c mit 0 ≤ c ≤ 1 und

c • f₁ (x ,y, z) + (1 - c ) • f₂ (x ,y, z) = 0

so entspricht die entstehende Fläche für c = 1 der Fläche f₁, für c = 0 der Fläche f₂; für Werte von c zwischen 0 und 1 entsteht eine interpolierte Fläche. So kann man z.B. ein Morphing zwischen einer Kugel und einem Würfel realisieren, indem man c animiert. (s. blaue Fläche in der folgenden Abbildung).

Die grüne Fläche zeigt die Interpolation eines Kegels und eines Zylinders in x-Richung.

Mit Hilfe der Interpolation können auch eher "ungewöhnliche" Flächen realisiert werden. So entsteht die orangene Fläche in der folgenden Abbildung durch die Interpolation der Flächen f₁ und f₂, mit a = 0.4 und

f₁ (x, y, z) = x² + y² - z² (Kegel)

f₂ (x, y, z) = (x-1)¹⁰⁰ + y¹⁰⁰ + z¹⁰⁰ - 1 (um +1 in x-Richtung versetzter Würfel).

Morphing von Kugel und Würfel

Interpolation von Kegel und Zylinder

Interpolation von Kegel und Würfel

Die oben betrachteten Operationen kamen u.a. zum Einsatz bei der Modellierung der 3D Objekte 3D Birne, 3D Tiere, 3D Pilz, 3D Mond unter 3D Mathe / 3D Objekte.

Schnittkurve impliziter Flächen

Die Schnittkurve zweier impliziter Funktionen f₁ und f₂ (eine unendlich dünne Linie) errechnet sich gemäß

f₁ (x, y, z) ² + f₂ (x, y, z) ² - d = 0.

Um die Schnittkurve sichtbar zu machen, muss die Dicke der Linie d etwas größer als 0 gewählt werden. Die rote Fläche in der folgenden linken und mittleren Grafik zeigt die Schnittlinie zweier zueinander rechtwinkling angeordneter, sich schneidender Zylinder mit a = 0.00001. Im rechten Bild ist diese Schnittlinie für a = 0.001 in blau dargestellt.

Schnittkurve zweier Zylinder
mit a = 0.00001

Schnittkurve zweier Zylinder
mit a = 0.001 (Zoom)

Implizite Flächen - Galerie

In dieser Galerie habe ich einige interessante Implizite Flächen zusammengestellt. Diese wurden alle mit dem Graphing Calculator 3D (s. auch Tools) erzeugt. Hierfür steht dort der Graph Type Implicit zur Verfügung.

In der Tabelle unten auf der Seite finden Sie für die einzelnen Flächen die zugehörigen Funktionsgleichungen in einer kopierbaren Notation, die die meisten Mathematikprogramme verarbeiten können, sowie die Parametereinstellungen. Auf Wunsch schicke ich auch gerne entsprechende Graphing Calculator 3D-Dateien per Mail zu - kontaktieren Sie mich dazu einfach.

Bei den meisten Flächen gibt es mehrere Ansichten. Verwenden Sie die Steuerelemente oder klicken Sie auf die Miniaturansicht, um sich gezielt ein Bild anzuschauen. Insbesondere lohnt sich eine vergrößerte, detailreichere Ansicht durch Klicken auf das Symbol .

Blob

Clebsch Surface

Deko-Würfel

Icosahedron

Klein Bottle (implizit)

Lattice

Lidinoid

Schwarz Double P Surface

Sine Surface (Sinus-Fläche) und Oktahemioktaeder

Sine Surface (Sinus Fläche) aus 2, 4 impliziten Teilflächen

Schnitt Barth Sextic (30 cusps) mit Kugel

Verschmelzen Barth Sextic
(30 cusps) mit Kugel

Interpolation Neovius Surface
mit Labs Quintic

Möbius-Band

räumlich massiv (solid)

Interpolation Neovius Surface
mit Nordstrand Quartic

... to be continued ...

Implizite Flächen - Tabelle der Funktionen und Parameter

Fläche

Funktion

x

y

z

Blob

x^2+y^2+z^2+sin(4*x)+sin(4*y)+sin(4*z)-1 = 0

-π

:

π

-π

:

π

-π

:

π

Clebsch Surface

f(x,y,z)=81*(x^3+y^3+z^3)-189*(x^2*y+x^2*z+y^2*x+y^2*z+z^2*x+z^2*y)+54*x*y*z
+126*(x*y+x*z+y*z)-9*(x^2+y^2+z^2)-9*(x+y+z)+1 = 0

f(x,y,z)=81*(x^3+y^3+z^3)-189*(x^2*y+x^2*z+y^2*x+y^2*z+z^2*x+z^2*y)
+54*x*y*z+126*(x*y+x*z+y*z)-9*(x^2+y^2+z^2)-9*(x+y+z)+1 - 50 = 0

-3

:

3

-3

:

3

-3

:

3

Deko-Würfel

1 < a < 2

0 < b < 2

((x^2 + y^2 -a^2)^2+(z^2-1)^2) ((y^2 + z^2 -a^2)^2 + (x^2-1)^2) ((z^2 + x^2 -a^2)^2 + (y^2-1)^2) - b = 0

-2

:

2

-2

:

2

-2

:

2

Icosahedron

p=(1+sqrt(5))/2

1-(cos(x+p*y)+cos(x-p*y)+cos(y+p*z)+cos(y-p*z)+cos(z-p*x)+cos(z+p*x)) = 0

x^2+y^2+z^2<=33

-7

:

7

-7

:

7

-7

:

7

Klein Bottle

(x^2+y^2+z^2+2*y-1)*((x^2+y^2+z^2-2*y-1)^2-8*z^2)+16*x*z*(x^2+y^2+z^2-2*y-1) = 0

-4

:

4

-4

:

4

-4

:

4

Lattice

T=1

G=-1

((cos(x-(-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(y

-(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))+cos(y-(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-

sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(z-(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-

sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))+cos(z-(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-

sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(x-(-

sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))*T/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-

sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2)))) * ( (cos(x-(-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(

-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(y-(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(

-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))+cos(y-(-sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-

sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(z-(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-

sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))+cos(z-(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-

sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2))*sin(x-(-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))*G/sqrt((-sin(x)*sin(y)+cos(x)*cos(z))^2+(-

sin(y)*sin(z)+cos(y)*cos(x))^2+(-sin(z)*sin(x)+cos(z)*cos(y))^2)))) = 0

x^2 + y ^2 + z ^2 <= 64

-8

:

8

-8

:

8

-8

:

8

Lidinoid

(sin(2x)sin(z)cos(y)+sin(2y)cos(z)sin(x)+sin(2z)cos(x)sin(y))

-(cos(2x)cos(2y)+cos(2y)cos(2z)+cos(2z)cos(2x))+0.3 = 0

a = 2, π, 5, 2π

x^2+y^2+z^2 <= a^2

-8

:

8

-8

:

8

-8

:

8

Möbius-Band (räumlich massiv)

a = 0.1

b = 0.3

Ausgangspunkt Torus (a=b):

(-(a^2+b^2)*(x^2+y^2)+0.5 *(b^2-a^2)*x*(1+x^2+y^2-z^2) -(b^2-a^2)*y*z)^2-(x^2+y^2) *(-0.5*(a^2+b^2) *(1+x^2+y^2+z^2)+a^2*b^2 +(b^2-a^2)*(x-y*z))^2 = 0

1-fach gedreht:

(-(a^2+b^2)*(x^2+y^2)+0.5 *(b^2-a^2)*x*(1+x^2+y^2-z^2) -(b^2-a^2)*y*z)^2-(x^2+y^2) *(-0.5*(a^2+b^2) *(1+x^2+y^2+z^2)+a^2*b^2 +(b^2-a^2)*(x-y*z))^2 = 0

2-fach gedreht:

((0.5*(a^2+b^2) *(1+x^2+y^2+z^2)-a^2*b^2) *(x^2+y^2)+0.5*(b^2-a^2) *(x^2-y^2)*(1+x^2+y^2-z^2) -2*(b^2-a^2)*x*y*z)^2 -(x^2+y^2)*((a^2+b^2) *(x^2+y^2)+(b^2-a^2) *(x^2-y^2-2*x*y*z))^2=0

3-fach gedreht:

(-(a^2+b^2)*(x^2+y^2)^2+0.5 *(b^2-a^2)*(x^3-3x*y^2) *(1+x^2+y^2-z^2) -(b^2-a^2)*(3x^2y-y^3)*z)^2 -(x^2+y^2)*(-(0.5*(a^2+b^2) *(1+x^2+y^2+z^2)-a^2*b^2) *(x^2+y^2)+(b^2-a^2) *(x^3-3x*y^2 -(3*x^2*y-y^3)*z))^2 =0

4-fach gedreht:

((0.5*(a^2+b^2) *(1+x^2+y^2+z^2)-a^2*b^2) *(x^2+y^2)^2+0.5 *(b^2-a^2) *(x^4-6x^2y^2+y^4) *(1+x^2+y^2-z^2)-3 *(b^2-a^2) *(x^2-y^2)*x*y*z)^2 -(x^2+y^2)*((a^2+b^2) *(x^2+y^2)^2+(b^2-a^2) *(x^4-6*x^2*y^2+y^4-3 *(x^3*y-x*y^3)*z))^2=0

5-fach gedreht:

(-(a^2+b^2) *(x^2+y^2)^3+0.5 *(b^2-a^2) *(x^5-10x^3y^2+5x*y^4) *(1+x^2+y^2-z^2)-(b^2-a^2) *(5x^4y-10x^2y^3+y^5)*z)^2 -(x^2+y^2)*(-(0.5*(a^2+b^2) *(1+x^2+y^2+z^2)-a^2*b^2) *(x^2+y^2)^2+(b^2-a^2) *(x^5-10x^3y^2+5x*y^4 -(5x^4y-10x^2y^3+y^5)*z))^2=0

6-fach gedreht:

((0.5*(a^2+b^2)*(1+x^2+y^2+z^2)-a^2*b^2)*(x^2+y^2)^3+0.5*(b^2-a^2) *(x^6-15x^4y^2+15x^2y^4-y^6)*(1+x^2+y^2-z^2)-(b^2-a^2)*(6x^5y-20x^3y^3+6x*y^5) *z)^2-(x^2+y^2)*((a^2+b^2)*(x^2+y^2)^3+(b^2-a^2)*(x^6-15x^4y^2+15x^2y^4-y^6 -(6x^5y-20x^3y^3+6x*y^5)*z))^2 = 0

-1.5

:

1.5

-1.5

:

1.5

-1.5

:

1.5

Schnitt Barth Sextic
(30 cusps) mit Kugel

1. Fläche - Barth Sextic 30 cusps:

PHI = ((1+√5)/2)

f(x,y,z) = 4*(PHI^2*x^2-y^2)*(PHI^2*y^2-z^2)*(PHI^2*z^2-x^2)-(1+2*PHI)*(x^2+y^2+z^2-1)^3

2. Fläche - Kugel:

g(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 - beta

f(x,y,z)^2 + g(x,y,z)^2 - gamma = 0 beta = 2 gamma = 0.045

-1.5

:

1.5

-1.5

:

1.5

-1.5

:

1.5

Schwarz Double P Surface

0.5(cos(x)cos(y)+cos(y)cos(z)+cos(z)cos(x))+0.2(cos(2x)+cos(2y)+cos(2z)) = 0

-π ≤ x, y, z ≤ π bzw. -2π ≤ x, y, z ≤ 2π

-8

:

8

-8

:

8

-8

:

8

Interpolation Neovius Surface mit Labs Quintic

1. Fläche - Neovius Surface:

f(x,y,z)=3 (cos(x)+cos(y)+cos(z))+4 (cos(x)*cos(y)*cos(z))

2. Fläche - Labs Quintic:

g(x,y,z)=x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4-3*z^5-5*x^4-10*x^2*y^2-5*y^4+10*z^3+20*x^2+20*y^2-15*z-24

x^2+y^2+z^2<=6.5^2

f(x,y,z) + 0.001* g(x,y,z) = 0

-7

:

7

-7

:

7

-7

:

7

Sine Surface und Oktahemioktaeder

a² (x⁴ + y⁴ + z⁴ - 2 (x²y² + y²z² + z²x²)) + 4x²y²z² = 0

x = a sin (u)

y = a sin (v)

z = a sin (u + v) -π ≤ u, v, z ≤ π

-1

:

1

-1

:

1

-1

:

1

Sine Surface aus 2, 4 impliziten Teilflächen

2 Teilflächen:

a (x² + y² - z²) ± 2xy √ (a² - z²) = 0

4 Teilflächen:

± x √ (a² - y²) ± y √ (a² - x²) - a z = 0

1

:

1

:

1

:

1

Verschmelzen Barth Sextic (30 cusps) mit Kugel

1. Fläche - Barth Sextic 30 cusps:

PHI = ((1+√5)/2)

f(x,y,z) = 4*(PHI^2*x^2-y^2)*(PHI^2*y^2-z^2)*(PHI^2*z^2-x^2)-(1+2*PHI)*(x^2+y^2+z^2-1)^3

2. Fläche - Kugel:

g(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 - beta

f(x,y,z) * g(x,y,z) + gamma = 0 beta = 1.7 gamma = -0.07

f(x,y,z) * g(x,y,z) + gamma = 0 beta = √1.3 gamma = -0.02

-1.5

:

1.5

-1.5

:

1.5

-1.5

:

1.5

Interpolation Neovius Surface mit Nordstrand Quartic

1. Fläche - Neovius Surface:

f(x,y,z)=3 (cos(x)+cos(y)+cos(z))+4 (cos(x)*cos(y)*cos(z))

2. Fläche - Nordstrand Quartic:

g(x,y,z)=25(x^3(y+z)+y^3(x+z)+z^3(x+y))+50(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)-125(x^2*y*z+y^2*x*z+z^2*x*y)
+60x*y*z-4(x*y+x*z+y*z)

x^2+y^2+z^2<=8.5^2

f(x,y,z) + 0.0001* g(x,y,z) = 0

-7

:

7

-7

:

7

-7

:

7