Rosenkurven
Eine Rosenkurve, auch Grandis Rose genannt, ist eine Kurve, die der Form einer Blüte mit Blütenblättern ähnelt.
Der italienische Mathematiker Guido Grandi (1671 - 1742) beschäftigte sich mit der Geometrie von Blüten und eben auch mit solchen Kurven, die er wegen der Ähnlichkeit zu einer Rose Rhodonea nannte und auch Gegenstand seines 1728 in Florenz erschienenen Buches (112 Seiten) mit dem Titel "Flores geometrici ex Rhodonearum, et Cloeliarum curvarum descriptione resultant…" (Geometrische Blumen, die sich aus der Beschreibung der Rhodonischen und Cloelischen Kurven ergeben…) waren (s. Abbildungen rechts, [1], [2]).
Die Gleichung der Rosenkurve wird im Allgemeinen in Polarkoordinaten angegeben:
r = a ∙ cos (p/q ∙ φ) oder in der um 90 Grad gedrehten Version r = a ∙ sin (p/q ∙ φ).
Die folgende Tabelle zeigt Rosenkurven für p, q ∈ {1, ..., 7}.
|
p→ – q ↓ |
1 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
| 2 |
|
≡ 1/1 |
|
≡ 2/1 |
|
≡ 3/1 |
|
| 3 |
|
|
≡ 1/1 |
|
|
≡ 21 |
|
| 4 |
|
≡ 1/2 |
|
≡ 1/1 |
|
≡ 3/2 |
|
| 5 |
|
|
|
|
≡ 1/1 |
|
|
| 6 |
|
≡ 1/3 | ≡ 1/2 | ≡ 2/3 |
|
≡ 1/1 |
|
| 7 |
|
|
|
|
|
|
≡ 1/1 |
Hinweis: Die Farbcodierung der Kurven entsprechend dem jeweiligen p- und q-Wert hatte ích
vorgenommen, umd die fertigen Kurven schneller sortieren zu können, was sich im
Nachhinein
aber als nicht unbedingt erforderlich erwies.
Im Folgenden sind die Rosenkurven der Größe des Wertes von p/q nach dargestellt, beginnend bei 1/7 bis hin zu 7/1.
Für rationale Werte von n = p/q gilt:
- Es entsteht eine geschlossene Kurve für einen Polarwinkel von π ∙ q ∙ m mit m = 1, falls p∙q ungerade ist bzw. m = 2, falls p∙q gerade ist.
- Falls n ganzzahlig und ungerade ist, so hat die Rose n Blütenblätter, ist n ganzzahlig und gerade, hat sie 2n Blütenblätter.
- Die Kurve ist algebraisch mit dem Grad p+q falls p∙q ungerade und 2(p+q) falls p∙q gerade ist. Die folgende Tabelle gibt für r = a ∙ cos (p/q ∙ φ) die entsprechenden Polynome für ganzzahlige n- und 2n-blättrige Rosen sowie für zwei besondere Kurven an.
| n | Rosenkurve | Name | Gleichung |
| 1 |
|
Kreis |
(x - a/2)2 + y2 = (a/2)2 ⇔ x2 - a x + y2 = 0 |
| 2 |
|
Quadrifolium |
(x2 + y2)3 = a2 (x2 – y2)2
⇔ x6 - a2 x4 + 3 x4 y2 + 3 x2 y4 + 2 a2 x2 y2 - a2 y4 + y6 = 0 |
| 3 |
|
Trifolium |
(x2 + y2)2 = a (x3 - 3 x y2) ⇔ x4 - a2 x3 + 2 x2 y2 + 3 a2 x y2 + y4 = 0 |
| 4 |
|
Oktafolium |
(x2 + y2)5 = a2 (x4 - 6 x2 y2 + y4)2 ⇔
x10 - a2 x8 + 5 x8 y2 + 10 x6
y4 + 12 a2 x6 y2 + 10 x4 y6 |
| 5 |
|
Pentafolium |
(x2 + y2)3 = a (x5 - 10 x3 y2 + 5 x y4) |
| 6 |
|
Dodekafolium |
(x2 + y2)7 = a2 (x6 - 15 x4 y2 + 15 x2 y4 - y6)2 ⇔
x14 - a2 x12 + 7 x12 y2 + 30 a2 x10 y2 + 21 x10 y4 -
255 a2 x8 y4 |
| 1/3 |
|
Trisektrix |
a2 (x2 + y2) = (x2 + y2 – 2 a x)2 ⇔ x4 - 4 a x3 + 3 a2 x2 + 2 x2 y2 - 4 a x y2 - a2 y2 + y4 = 0 |
| 1/2 |
|
Dürer Folium |
(x2 + y2) (2 (x2 + y2) – y2)2 = a4 x2 ⇔
4 x6 - 4 a2 x4 + 12 x4 y2 + 12 x2 y4 - 8 a2 x2 y2 +
a4 y2 |
Ist n irrational, so ist die Kurve nicht geschlossen und es entstehen unendlich viele Blütenblätter. Rosenkurven mit irrationalem n bilden eine dichte Menge,
d.h. sie kommen beliebig nahe daran, jeden Punkt in der Kreisscheibe r ≤ a zu
treffen.
r = 1 ∙ cos (√2 ∙ φ)
von oben nach unten:
φ = 10 π, 25 π, 50 π, 100
r = 1 ∙ cos (e ∙ φ)
von oben nach unten:
φ = 10 π, 25 π, 50 π, 100
r = 1 ∙ cos (π ∙ φ)
von oben nach unten:
φ = 10 π, 25 π, 50 π, 100
Interessante Figuren und Übergänge ergeben sich mit n = p/q
∙ √c mit c ≈
1 (z.B. c = √1.02 ):
r = 1 ∙ cos (1 ∙ √1.02 ∙ φ)
φ = 1, ..., 200 π
r = 1 ∙ cos (½ ∙ √1.02 ∙ φ)
φ = 4, ..., 120 π
r = 1 ∙ cos (3 ∙ √1.02 ∙ φ)
φ = 1, ..., 140 π
Weitere Betrachtungen zu Rosenkurven sowie einige Animationen findet man bei [3], eine brauchbare interaktive Geogebra-Grafik bei [4].