Käfer-(Mäuse)problem

Vier Käfer sitzen in den Ecken eines Quadrates (s. Grafik rechts) und laufen mit gleicher Geschwindigkeit gleichzeitig los. Käfer 1 läuft in Richtung Käfer 2, Käfer 2 in Richtung Käfer 3, Käfer 3 in Richtung Käfer 4 und dieser in Richtung Käfer 1. Auf welchen Kurven bewegen sich die Käfer?

Für das zuvor beschriebene Problem soll nun die Bahnkurve eines Käfers bestimmt werden. Der Mittelpunkt des Quadrats mit einer Kantenlänge 2 befinde sich im Ursprung eines Koordinatensystems, die Positionen der Käfer zu Beginn seien die Eckpunkte (-1 | -1), (1 | -1), (1 | 1) und (-1 | 1) des Quadrats.

Zu einem beliebigen Zeitpunkt befinde sich Käfer 1 im Punkt K₁(x | y). Käfer 2 befindet sich dann aus Symmetriegründen im Punkt K₂(-y | x) (s. Grafik rechts).

Die Gerade g (K₁K₂) ist die Tangente in K₁ an die gesuchte Kurve von Käfer 1. Mit der Steigung der Tangente ergibt sich somit die Differentialgleichung (DGL)

Mit Polarkoordinaten gilt x = r ∙ cos(φ) und y = r ∙ sin(φ).

zur Bestimmung der Bahnkurve von Käfer (Maus) 1

Mithin ist

Einsetzen in die obige DGL ergibt dann eine DGL für r in Abhängigkeit von φ, die es zu lösen gilt:

Setzt man für die Bestimmung der Konstanten C die Anfangsbedingung r = √2 und φ = 5/4π für Käfer 1 ein, so erhält man schließlich die Bahnkurve von Käfer 1 – eine logarithmische Spirale:

Die nebenstehende Animation zeigt die Lösung des Problems mit vier Käfern, die sich auf vier kongruenten Logarithmischen Spiralen aufeinander zu bewegen und sich im Mittelpunkt des Quadrats treffen.

Verbindet man zu einem beliebigen Zeitpunkt die Orte der Käfer durch Geraden, so entsteht ein verkleinertes Ausgangspolygon (Quadrat). Die Folge dieser immer kleiner werdenden Quadrate bildet einen Wirbel (engl. whirl) [ ], wobei die Ecken der Quadrate die Bahnen (Logarithmische Spiralen) bilden (s. folgende linke Animation). Eine ähnliche Figur kann mit der Gielis-transformierten Logarithmischen Spirale

mit m = 4.10404 erzeugt werden (s. folgende rechte Animation sowie 2D Mathe/ 2D Superformel - 2).

Für n = 3, 5 und 6 sich verfolgende Objekte auf den Ecken des jeweiligen n-Polygons habe ich das zyklische Verfolgungsproblem einmal in EXCEL nachgestellt:

Quellenverweise

[1]